### Nuprl Lemma : groupoid-cube-lemma2

`∀[G:Groupoid]. ∀[x000,x100,x010,x110,x001,x101,x011,x111:cat-ob(cat(G))]. ∀[a:cat-arrow(cat(G)) x001 x011].`
`∀[b:cat-arrow(cat(G)) x011 x111]. ∀[c:cat-arrow(cat(G)) x001 x101]. ∀[d:cat-arrow(cat(G)) x101 x111].`
`∀[e:cat-arrow(cat(G)) x000 x010]. ∀[f:cat-arrow(cat(G)) x010 x110]. ∀[g:cat-arrow(cat(G)) x000 x100].`
`∀[h:cat-arrow(cat(G)) x100 x110].`
`  uiff(a o b = c o d;e o f = g o h) `
`  supposing (∃i:cat-arrow(cat(G)) x000 x001`
`              ∃j:cat-arrow(cat(G)) x010 x011`
`               ∃k:cat-arrow(cat(G)) x110 x111`
`                ∃l:cat-arrow(cat(G)) x100 x101. (e o j = i o a ∧ f o k = j o b ∧ l o d = h o k ∧ i o c = g o l))`
`  ∨ (∃i:cat-arrow(cat(G)) x001 x000`
`      ∃j:cat-arrow(cat(G)) x011 x010`
`       ∃k:cat-arrow(cat(G)) x111 x110`
`        ∃l:cat-arrow(cat(G)) x101 x100. (a o j = i o e ∧ b o k = j o f ∧ d o k = l o h ∧ i o g = c o l))`

Proof

Definitions occuring in Statement :  groupoid-cat: `cat(G)` groupoid: `Groupoid` cat-square-commutes: `x_y1 o y1_z = x_y2 o y2_z` cat-arrow: `cat-arrow(C)` cat-ob: `cat-ob(C)` uiff: `uiff(P;Q)` uimplies: `b supposing a` uall: `∀[x:A]. B[x]` exists: `∃x:A. B[x]` or: `P ∨ Q` and: `P ∧ Q` apply: `f a`
Definitions unfolded in proof :  so_apply: `x[s]` prop: `ℙ` so_lambda: `λ2x.t[x]` uall: `∀[x:A]. B[x]` member: `t ∈ T` and: `P ∧ Q` exists: `∃x:A. B[x]` or: `P ∨ Q` uimplies: `b supposing a` uiff: `uiff(P;Q)` cat-square-commutes: `x_y1 o y1_z = x_y2 o y2_z` cand: `A c∧ B`
Lemmas referenced :  groupoid_wf cat-ob_wf cat-arrow_wf exists_wf or_wf groupoid-cat_wf cat-square-commutes_wf groupoid-cube-lemma groupoid-cube-lemma-rev
Rules used in proof :  productEquality because_Cache lambdaEquality sqequalRule applyEquality hypothesis hypothesisEquality isectElimination lemma_by_obid cut productElimination thin unionElimination sqequalReflexivity computationStep sqequalTransitivity sqequalSubstitution sqequalHypSubstitution isect_memberFormation introduction independent_pairEquality isect_memberEquality axiomEquality equalityTransitivity equalitySymmetry independent_pairFormation independent_isectElimination

Latex:
\mforall{}[G:Groupoid].  \mforall{}[x000,x100,x010,x110,x001,x101,x011,x111:cat-ob(cat(G))].
\mforall{}[a:cat-arrow(cat(G))  x001  x011].  \mforall{}[b:cat-arrow(cat(G))  x011  x111].
\mforall{}[c:cat-arrow(cat(G))  x001  x101].  \mforall{}[d:cat-arrow(cat(G))  x101  x111].
\mforall{}[e:cat-arrow(cat(G))  x000  x010].  \mforall{}[f:cat-arrow(cat(G))  x010  x110].
\mforall{}[g:cat-arrow(cat(G))  x000  x100].  \mforall{}[h:cat-arrow(cat(G))  x100  x110].
uiff(a  o  b  =  c  o  d;e  o  f  =  g  o  h)
supposing  (\mexists{}i:cat-arrow(cat(G))  x000  x001
\mexists{}j:cat-arrow(cat(G))  x010  x011
\mexists{}k:cat-arrow(cat(G))  x110  x111
\mexists{}l:cat-arrow(cat(G))  x100  x101
(e  o  j  =  i  o  a  \mwedge{}  f  o  k  =  j  o  b  \mwedge{}  l  o  d  =  h  o  k  \mwedge{}  i  o  c  =  g  o  l))
\mvee{}  (\mexists{}i:cat-arrow(cat(G))  x001  x000
\mexists{}j:cat-arrow(cat(G))  x011  x010
\mexists{}k:cat-arrow(cat(G))  x111  x110
\mexists{}l:cat-arrow(cat(G))  x101  x100
(a  o  j  =  i  o  e  \mwedge{}  b  o  k  =  j  o  f  \mwedge{}  d  o  k  =  l  o  h  \mwedge{}  i  o  g  =  c  o  l))

Date html generated: 2016_05_18-AM-11_56_01
Last ObjectModification: 2015_12_28-PM-02_23_50

Theory : small!categories

Home Index