Nuprl Lemma : mk-monad_wf

[C:SmallCategory]. ∀[T:Functor(C;C)]. ∀[u:nat-trans(C;C;1;T)]. ∀[m:nat-trans(C;C;functor-comp(T;T);T)].
  (mk-monad(T;u;m) ∈ Monad(C)) supposing 
         ((cat-comp(C) (ob(T) X) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (u (ob(T) X)) (m X))
         (cat-id(C) (ob(T) X))
         ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) X) (ob(T) X)))) and 
        ((cat-comp(C) (ob(T) X) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (arrow(T) (ob(T) X) (u X)) (m X))
        (cat-id(C) (ob(T) X))
        ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) X) (ob(T) X)))) and 
        ((cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (m (ob(T) X)) (m X))
        (cat-comp(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) 
           (arrow(T) (ob(T) (ob(T) X)) (ob(T) X) (m X)) 
           (m X))
        ∈ (cat-arrow(C) (ob(T) (ob(T) (ob(T) X))) (ob(T) X)))))


Definitions occuring in Statement :  mk-monad: mk-monad(T;u;m) cat-monad: Monad(C) id_functor: 1 functor-comp: functor-comp(F;G) nat-trans: nat-trans(C;D;F;G) functor-arrow: arrow(F) functor-ob: ob(F) cat-functor: Functor(C1;C2) cat-comp: cat-comp(C) cat-id: cat-id(C) cat-arrow: cat-arrow(C) cat-ob: cat-ob(C) small-category: SmallCategory uimplies: supposing a uall: [x:A]. B[x] all: x:A. B[x] member: t ∈ T apply: a equal: t ∈ T
Definitions unfolded in proof :  cand: c∧ B and: P ∧ Q spreadn: spread3 prop: mk-monad: mk-monad(T;u;m) cat-monad: Monad(C) uimplies: supposing a id_functor: 1 so_apply: x[s] so_lambda: λ2x.t[x] so_apply: x[s1;s2;s3] so_lambda: so_lambda(x,y,z.t[x; y; z]) top: Top member: t ∈ T all: x:A. B[x] nat-trans: nat-trans(C;D;F;G) functor-comp: functor-comp(F;G) uall: [x:A]. B[x]
Lemmas referenced :  small-category_wf cat-functor_wf id_functor_wf functor-comp_wf nat-trans_wf cat-id_wf functor-ob_wf cat-arrow_wf cat-ob_wf functor-arrow_wf cat-comp_wf equal_wf all_wf arrow_mk_functor_lemma ob_mk_functor_lemma
Rules used in proof :  productElimination independent_pairFormation functionEquality setEquality productEquality functionExtensionality applyEquality lambdaEquality isectElimination because_Cache rename setElimination independent_pairEquality hypothesisEquality dependent_pairEquality dependent_set_memberEquality hypothesis voidEquality voidElimination isect_memberEquality thin dependent_functionElimination extract_by_obid introduction cut sqequalRule sqequalHypSubstitution isect_memberFormation sqequalReflexivity computationStep sqequalTransitivity sqequalSubstitution

\mforall{}[C:SmallCategory].  \mforall{}[T:Functor(C;C)].  \mforall{}[u:nat-trans(C;C;1;T)].
    (mk-monad(T;u;m)  \mmember{}  Monad(C))  supposing 
                  ((cat-comp(C)  (ob(T)  X)  (ob(T)  (ob(T)  X))  (ob(T)  X)  (u  (ob(T)  X))  (m  X))
                  =  (cat-id(C)  (ob(T)  X))))  and 
                ((cat-comp(C)  (ob(T)  X)  (ob(T)  (ob(T)  X))  (ob(T)  X)  (arrow(T)  X  (ob(T)  X)  (u  X))  (m  X))
                =  (cat-id(C)  (ob(T)  X))))  and 
                ((cat-comp(C)  (ob(T)  (ob(T)  (ob(T)  X)))  (ob(T)  (ob(T)  X))  (ob(T)  X)  (m  (ob(T)  X))  (m  X))
                =  (cat-comp(C)  (ob(T)  (ob(T)  (ob(T)  X)))  (ob(T)  (ob(T)  X))  (ob(T)  X) 
                      (arrow(T)  (ob(T)  (ob(T)  X))  (ob(T)  X)  (m  X)) 
                      (m  X)))))

Date html generated: 2017_01_19-PM-02_57_51
Last ObjectModification: 2017_01_16-PM-08_02_54

Theory : small!categories

Home Index