Nuprl Lemma : mk-functor_wf

[A,B:SmallCategory]. ∀[F:cat-ob(A) ⟶ cat-ob(B)]. ∀[M:x:cat-ob(A)
                                                       ⟶ y:cat-ob(A)
                                                       ⟶ (cat-arrow(A) y)
                                                       ⟶ (cat-arrow(B) F[x] F[y])].
  (functor(ob(a) F[a];
           arrow(x,y,f) M[x;y;f]) ∈ Functor(A;B)) supposing 
     ((∀x:cat-ob(A). (M[x;x;cat-id(A) x] (cat-id(B) (F x)) ∈ (cat-arrow(B) (F x) (F x)))) and 
     (∀x,y,z:cat-ob(A). ∀f:cat-arrow(A) y. ∀g:cat-arrow(A) z.
        (M[x;z;cat-comp(A) g]
        (cat-comp(B) (F x) (F y) (F z) M[x;y;f] M[y;z;g])
        ∈ (cat-arrow(B) (F x) (F z)))))


Definitions occuring in Statement :  mk-functor: mk-functor cat-functor: Functor(C1;C2) cat-comp: cat-comp(C) cat-id: cat-id(C) cat-arrow: cat-arrow(C) cat-ob: cat-ob(C) small-category: SmallCategory uimplies: supposing a uall: [x:A]. B[x] so_apply: x[s1;s2;s3] so_apply: x[s] all: x:A. B[x] member: t ∈ T apply: a function: x:A ⟶ B[x] equal: t ∈ T
Definitions unfolded in proof :  uall: [x:A]. B[x] member: t ∈ T uimplies: supposing a cat-functor: Functor(C1;C2) mk-functor: mk-functor so_apply: x[s] so_apply: x[s1;s2;s3] subtype_rel: A ⊆B and: P ∧ Q cand: c∧ B all: x:A. B[x] so_lambda: λ2x.t[x] prop:
Lemmas referenced :  cat-arrow_wf all_wf equal_wf cat-id_wf cat-comp_wf cat-ob_wf small-category_wf
Rules used in proof :  sqequalSubstitution sqequalTransitivity computationStep sqequalReflexivity isect_memberFormation introduction cut dependent_set_memberEquality dependent_pairEquality lambdaEquality applyEquality functionExtensionality hypothesisEquality because_Cache hypothesis sqequalHypSubstitution sqequalRule extract_by_obid isectElimination thin functionEquality independent_pairFormation productElimination productEquality axiomEquality equalityTransitivity equalitySymmetry isect_memberEquality

\mforall{}[A,B:SmallCategory].  \mforall{}[F:cat-ob(A)  {}\mrightarrow{}  cat-ob(B)].  \mforall{}[M:x:cat-ob(A)
                                                                                                              {}\mrightarrow{}  y:cat-ob(A)
                                                                                                              {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(A)  x  y)
                                                                                                              {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(B)  F[x]  F[y])].
    (functor(ob(a)  =  F[a];
                      arrow(x,y,f)  =  M[x;y;f])  \mmember{}  Functor(A;B))  supposing 
          ((\mforall{}x:cat-ob(A).  (M[x;x;cat-id(A)  x]  =  (cat-id(B)  (F  x))))  and 
          (\mforall{}x,y,z:cat-ob(A).  \mforall{}f:cat-arrow(A)  x  y.  \mforall{}g:cat-arrow(A)  y  z.
                (M[x;z;cat-comp(A)  x  y  z  f  g]  =  (cat-comp(B)  (F  x)  (F  y)  (F  z)  M[x;y;f]  M[y;z;g]))))

Date html generated: 2020_05_20-AM-07_50_47
Last ObjectModification: 2017_01_13-PM-00_33_53

Theory : small!categories

Home Index