### Nuprl Lemma : nat-trans-assoc-comp-equation

`∀[C,D:SmallCategory]. ∀[F,G,H:Functor(C;D)]. ∀[t1:nat-trans(C;D;F;H)]. ∀[t2:nat-trans(C;D;H;G)]. ∀[A,B,B':cat-ob(C)].`
`∀[g:cat-arrow(C) A B]. ∀[h:cat-arrow(C) B B'].`
`  ((cat-comp(D) (F A) (G B) (G B') `
`    (cat-comp(D) (F A) (F B) (G B) (F A B g) (cat-comp(D) (F B) (H B) (G B) (t1 B) (t2 B))) `
`    (G B B' h))`
`  = (cat-comp(D) (F A) (F B') (G B') (cat-comp(D) (F A) (F B) (F B') (F A B g) (F B B' h)) `
`     (cat-comp(D) (F B') (H B') (G B') (t1 B') (t2 B')))`
`  ∈ (cat-arrow(D) (F A) (G B')))`

Proof

Definitions occuring in Statement :  nat-trans: `nat-trans(C;D;F;G)` functor-arrow: `arrow(F)` functor-ob: `ob(F)` cat-functor: `Functor(C1;C2)` cat-comp: `cat-comp(C)` cat-arrow: `cat-arrow(C)` cat-ob: `cat-ob(C)` small-category: `SmallCategory` uall: `∀[x:A]. B[x]` apply: `f a` equal: `s = t ∈ T`
Definitions unfolded in proof :  uall: `∀[x:A]. B[x]` member: `t ∈ T` squash: `↓T` prop: `ℙ` subtype_rel: `A ⊆r B` nat-trans: `nat-trans(C;D;F;G)` true: `True` uimplies: `b supposing a` guard: `{T}` iff: `P `⇐⇒` Q` and: `P ∧ Q` rev_implies: `P `` Q` implies: `P `` Q` all: `∀x:A. B[x]` top: `Top`
Lemmas referenced :  equal_wf squash_wf true_wf cat-arrow_wf functor-ob_wf nat-trans-assoc-equation trans-comp_wf cat-comp_wf functor-arrow_wf nat-trans_wf iff_weakening_equal trans_comp_ap_lemma cat-ob_wf cat-functor_wf small-category_wf
Rules used in proof :  sqequalSubstitution sqequalTransitivity computationStep sqequalReflexivity isect_memberFormation cut applyEquality thin lambdaEquality sqequalHypSubstitution imageElimination introduction extract_by_obid isectElimination hypothesisEquality equalityTransitivity hypothesis equalitySymmetry universeEquality because_Cache setElimination rename sqequalRule natural_numberEquality imageMemberEquality baseClosed independent_isectElimination productElimination independent_functionElimination dependent_functionElimination isect_memberEquality voidElimination voidEquality

Latex:
\mforall{}[C,D:SmallCategory].  \mforall{}[F,G,H:Functor(C;D)].  \mforall{}[t1:nat-trans(C;D;F;H)].  \mforall{}[t2:nat-trans(C;D;H;G)].
\mforall{}[A,B,B':cat-ob(C)].  \mforall{}[g:cat-arrow(C)  A  B].  \mforall{}[h:cat-arrow(C)  B  B'].
((cat-comp(D)  (F  A)  (G  B)  (G  B')
(cat-comp(D)  (F  A)  (F  B)  (G  B)  (F  A  B  g)  (cat-comp(D)  (F  B)  (H  B)  (G  B)  (t1  B)  (t2  B)))
(G  B  B'  h))
=  (cat-comp(D)  (F  A)  (F  B')  (G  B')  (cat-comp(D)  (F  A)  (F  B)  (F  B')  (F  A  B  g)  (F  B  B'  h))
(cat-comp(D)  (F  B')  (H  B')  (G  B')  (t1  B')  (t2  B'))))

Date html generated: 2020_05_20-AM-07_51_50
Last ObjectModification: 2017_07_28-AM-09_19_24

Theory : small!categories

Home Index